Trigonometria

Note

Articles in this blog's slice are, for the time being, ony in italian.
Gli articoli in questa parte di blog sono, per ora, solo in italiano.

Circonferenza Trigonometrica

La circonferenza trigonometrica (o goniometrica) è una circonferenza di raggio unitario con centro nell’origine degli assi cartesiani.

Si consideri l’origine $O = (0, 0)$ come vertice e si disegni un angolo $\alpha$ di ampiezza qualsiasi all’interno della circonferenza trigonometrica.

Si fissi come primo lato del angolo il semiasse delle ascisse positive, ovvero dall’origine O al punto $P = (1, 0)$. Muovendo il secondo lato in senso antiorario, è possibile descrivere un qualsiasi angolo orientato con ampiezza in gradi $0° \leqslant \alpha \leqslant 360°$

Conversione gradi-radianti

La corrispondenza tra la misura di un angolo in gradi e in radianti è molto utile, soprattutto per quanto riguarda lo studio di funzioni trigonometriche. Inoltre, i radianti permettono di rappresentare un ampiezza mediante un numero puro, ossia un numero senza unità di minura.

Siano $g°$ la misura di un angolo $\alpha$ espressa in gradi e $r^{\text{rad}}$ la misura dello stesso angolo $\alpha$ espressa in radianti, si utilizzi la seguente proporzione:

$$g° : 180° = r^{\text{rad}} : \pi^{\text{rad}}$$

Si applichi la proprietà fondamentale delle proporzioni:

$$g° * \pi^{\text{rad}} = 180° * r^{\text{rad}}$$

A seconda che si vogliano ricavare la misura di $\alpha$ in gradi o in radianti, si utilizzi questa formula nei due modi proposti di seguito.

Da gradi a radianti

$$\Large r^{\text{rad}} = \frac{g° * \pi^{\text{rad}}}{180°}$$

Da radianti a gradi

$$\Large g° = \frac{180° * r^{\text{rad}}}{\pi^{\text{rad}}}$$

Angoli notevoli

Alcuni angoli ricoreranno molto frequntemente ed è bene elencarli:

Gradi	Radianti
$0°$	$0$
$30°$	$\pi / 6$
$45°$	$\pi / 4$
$60°$	$\pi / 3$
$90°$	$\pi / 2$
$120°$	$2 \pi /3$
$135°$	$3\pi /4$
$150°$	$5\pi /6$
$180°$	$\pi$
$210°$	$7\pi /6$
$225°$	$5\pi /4$
$240°$	$4\pi /3$
$270°$	$3\pi /2$
$300°$	$5\pi /3$
$315°$	$7\pi /4$
$330°$	$11\pi /6$
$360°$	$2\pi$

Si osservi come $0° \leqslant \alpha \leqslant 360°$ sia equivalente a $0 \leqslant \alpha \leqslant 2 \pi$. Tutti gli angoli con ampiezza $\alpha$ (compresa tra 0° e 360°) hanno una corrispondenza biunivoca con i punti $P_n$ in cui il secondo lato dell’angolo interseca la circonferenza trigonometrica: ad ogni punto $P = (x_{\, P}, \; y_{\,P})$ è possibile associare una ed una sola ampiezza $\alpha$ e, viceversa, ad un’ampiezza è possibile associare uno ed un solo punto della circonferenza di raggio unitario. Si noti come P è detto punto associato all’angolo $\alpha$.

Unità della circonferenza trigonometrica

Se l’ampiezza del angolo $\alpha$ è maggiore dell’angolo giro o minore dell’angolo nullo, si otterranno angoli geometricamente equivalenti a quelli compresi tra 0° e 360°.

Sia $k\in \Z$, allora, all’interno della circonferenza trigonometrica, si ha che:

$$\eq{ & k\pi = \pi \quad \quad \quad \forall \; k \text{ dispari} \\ & k\pi = 2 \pi \quad \quad \quad \forall \; k \text{ pari} \\ }$$

Funzioni Trigonometriche

Seno

Il seno si esprime con $\sin (\alpha)$ dal latino sinus, in inglese sine, oppure con la traduzione italiana $\text{sen} (\alpha)$.

La prima definizione di seno è la seguente:

$$\Large \sin (\alpha) = y_{\,P}$$

Ovvero, sia P il punto associato ad un angolo $\alpha$ qualsiasi (presente sulla circonferenza trigonometrica). Sia Q la proiezione del punto P sull’asse $y$, si forma un triangolo rettangolo $\overset{\triangle}{O P Q}$ la cui ipotenusa $\overline{O P}$ misura $1$ (il secondo lato dell’angolo $\alpha$). Il seno dell’angolo $\alpha$ è il rapporto tra il cateto $\overline{O Q}$ e l’ipotenusa $\overline{O P}$ del triangolo $\overset{\triangle}{O P Q}$:

$$\Large \sin (\alpha) = \frac{\overline{O Q}}{\overline{O P}} = \frac{\overline{O Q}}{1} = y_{\,P}$$

Valore negli angoli notevoli

Gradi	Radianti	seno
$0°$	$0$	$0$
$30°$	$\pi / 6$	$1 / 2$
$45°$	$\pi / 4$	$\sqrt{2}/2$
$60°$	$\pi / 3$	$\sqrt{3}/2$
$90°$	$\pi / 2$	$1$
$120°$	$2 \pi /3$	$\sqrt{3}/2$
$135°$	$3\pi /4$	$\sqrt{2}/2$
$150°$	$5\pi /6$	$1 / 2$
$180°$	$\pi$	$0$
$210°$	$7\pi /6$	$-1 / 2$
$225°$	$5\pi /4$	$-\sqrt{2}/2$
$240°$	$4\pi /3$	$-\sqrt{3}/2$
$270°$	$3\pi /2$	$-1$
$300°$	$5\pi /3$	$-\sqrt{3}/2$
$315°$	$7\pi /4$	$-\sqrt{2}/2$
$330°$	$11\pi /6$	$-1 / 2$
$360°$	$2\pi$	$0$

Proprietà del seno

Sia $f(\alpha) = \sin (\alpha)$, si studino le sue proprietà.

$D(f) = \R$, il suo dominio include tutti i numeri reali compresi tra $-\infty$ e $+\infty$.

$f$ è dispari, ovvero il suo grafico è simmetrico rispetto all’origine, infatti:

$$\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha) \quad \quad \quad \forall \alpha\in D(f)$$

$f$ è continua e derivabile in tutto il suo dominio $\R$.

$f$ è limitata, la sua immagine è compresa tra $\pm1$ (inclusi gli estremi), quindi $Imm(f) = \left[ -1; \; 1\right]$.

Il segno di $f$, con $k\in \Z$ è:

• positivo per $2k\pi < \alpha < (2k+1)\pi$
• negativo per $(2k-1)\pi < \alpha < 2k\pi$

$f$ è periodica con periodo $2\pi$, è quindi possibile studiare le sue proprietà nell’intervallo $I = [0; \; 2\pi]$ poiché queste si ripetono in tutto il suo dominio $\R$.

$f$ è monotona strettamente crescente in:

$$\bigg[ 0, \; \frac{\pi}{2} \bigg) \cup \bigg[\frac{3}{2}\pi, \; 2\pi \bigg)$$

$f$ è monotona strettamente decrescente in:

$$\bigg[ \frac{\pi}{2}, \; \frac{3}{2}\pi \bigg)$$

$f$ è concava in $[0, \; \pi]$ e convessa in $[\pi, \; 2\pi]$.

I suoi limiti agli estremi del dominio non esistono.

Il suo limite notevole associato è:

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin (\alpha)}{\alpha} = 1$$

La derivata del seno è:

$$D \left[ \sin (\alpha)\right] = \cos(\alpha)$$

L’integrale del seno è:

$$\int \sin (\alpha) \; d\alpha = -\cos(\alpha) + c$$

Lo sviluppo di Taylor con centro in $\alpha_0 = 0$ è:

$$\sin (\alpha) = x + \frac{\alpha^3}{6} + \frac{\alpha^5}{120} + \frac{\alpha^7}{5040} + \cdots + \frac{(-1)^n \alpha^{2n+1}}{(2n+1)!} + o(\alpha^{2n+1})$$

Coseno

Il coseno si esprime con $\cos (\alpha)$ dal latino cosinus, in inglese cosine.

La prima definizione di coseno è la seguente:

$$\Large \cos (\alpha) = x_{\,P}$$

Ovvero, sia P il punto associato ad un angolo $\alpha$ qualsiasi (presente sulla circonferenza trigonometrica). Sia R la proiezione del punto P sull’asse $x$, si forma un triangolo rettangolo $\overset{\triangle}{O P R}$ la cui ipotenusa $\overline{O P}$ misura $1$ (il secondo lato dell’angolo $\alpha$). Il coseno dell’angolo $\alpha$ è il rapporto tra il cateto $\overline{O R}$ e l’ipotenusa $\overline{O P}$ del triangolo $\overset{\triangle}{O P R}$ :

$$\Large \cos (\alpha) = \frac{\overline{O R}}{\overline{O P}} = \frac{\overline{O R}}{1} = x_{\,P}$$

Si noti come $\overline{O Q} = \overline{P R} \implies \sin (\alpha) = \overline{O Q}$

Valore negli angoli notevoli

Gradi	Radianti	coseno
$0°$	$0$	$1$
$30°$	$\pi / 6$	$\sqrt{3}/2$
$45°$	$\pi / 4$	$\sqrt{2}/2$
$60°$	$\pi / 3$	$1 / 2$
$90°$	$\pi / 2$	$0$
$120°$	$2 \pi /3$	$-1 / 2$
$135°$	$3\pi /4$	$-\sqrt{2}/2$
$150°$	$5\pi /6$	$-\sqrt{3}/2$
$180°$	$\pi$	$-1$
$210°$	$7\pi /6$	$-\sqrt{3}/2$
$225°$	$5\pi /4$	$-\sqrt{2}/2$
$240°$	$4\pi /3$	$-1 / 2$
$270°$	$3\pi /2$	$0$
$300°$	$5\pi /3$	$1 / 2$
$315°$	$7\pi /4$	$\sqrt{2}/2$
$330°$	$11\pi /6$	$\sqrt{3}/2$
$360°$	$2\pi$	$1$

Proprietà del coseno

Sia $f(x)= \cos (\alpha)$, si studino le sue proprietà.

$D(f) = \R$, il suo dominio include tutti i numeri reali compresi tra $-\infty$ e $+\infty$. $f$ è pari, ovvero il suo grafico è simmetrico rispetto all’asse $x$, infatti:

$$\cos(-\alpha) = \cos(\alpha) \quad \quad \quad \forall \alpha\in D(f)$$

$f$ è continua e derivabile in tutto il suo dominio $\R$.

$f$ è limitata, la sua immagine è compresa tra $\pm1$ (inclusi gli estremi), quindi $Imm(f) = [ -1; \; 1]$.

Il segno di $f$, con $k\in \Z$ è:

• positivo per $2k\pi < \alpha < \frac{\pi}{2}+2k\pi \; \lor \; \frac{3}{2}\pi+2k\pi < \alpha < (2k+2)\pi$
• negativo per $\frac{\pi}{2}+2k\pi < \alpha < \frac{3}{2}\pi+2k\pi$

$f$ è periodica con periodo $2\pi$, è quindi possibile studiare le sue proprietà nell’intervallo $I = [0; \; 2\pi]$ poiché queste si ripetono in tutto il suo dominio $\R$.

$f$ è monotona strettamente crescente in $[ \pi, \; 2\pi )$

$f$ è monotona strettamente decrescente in $[ 0, \; \pi )$

$f$ è concava in $\left[ 0, \; \frac{\pi}{2} \right) \cup \left[ \frac{3}{2}\pi, \; 2\pi \right)$ e convessa in $\left[ \frac{\pi}{2}, \; \frac{3}{2}\pi \right)$.

I suoi limiti agli estremi del dominio non esistono.

Il suo limite notevole associato è:

$$\lim_{\alpha \to 0} \frac{1 - \cos(\alpha)}{\alpha^2} = \frac{1}{2}$$

La derivata del coseno è:

$$D \left[ \cos(\alpha)\right] = -\sin(\alpha)$$

L’integrale del coseno è:

$$\int \cos (\alpha) \; d\alpha = \sin(\alpha)+ c$$

Lo sviluppo di Taylor con centro in $x_0 = 0$ è:

$$\cos (\alpha) = \alpha + \frac{\alpha^2}{2} + \frac{\alpha^4}{24} + \frac{\alpha^6}{720} + \cdots + \frac{(-1)^n \alpha^{2n}}{(2n)!} + o(\alpha^{2n})$$

Tangente

La tangente si esprime con $\tan(\alpha)$ oppure $\text{tg}(\alpha)$.

Si consideri la retta $t$ tangente alla circonferenza trigonometrica nel punto $A = (1, 0)$ e sia $T$ il punto di intersezione tra la retta $t$ ed il secondo lato (o il suo prolungamento) di un angolo $\alpha$ qualsiasi , allora:

$$\Large \tan (\alpha) = \overline{T A} = y_{\, T}$$

Si può dare una seconda definizione mediante le definizioni di seno e coseno:

$$\Large \tan (\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} \quad \quad \quad \forall \alpha \neq \frac{\pi}{2} + k\pi, k\in \Z$$

Si considerino i due triangoli $\overset{\triangle}{O P R}$ e $\overset{\triangle}{O T A}$ Poiché sono entrambi triangoli rettangoli e l’angolo $\alpha$ è in comune, vale la seguente relazione:

$$\frac{\overline{T A}}{\overline{O A}} = \frac{\overline{P R}}{\overline{O R}} \implies \frac{\tan (\alpha)}{1} = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$$

Proprietà della tangente

Sia $f(x)= \tan(\alpha)$, si studino le sue proprietà.

$D(f) = \R \setminus \{\pi/2+k\pi\}$ con $k\in \Z$, il suo dominio include tutti i numeri reali compresi tra $-\infty$ e $+\infty$ esclusi tutti i punti nella forma $\frac{\pi}{2}+k\pi$ con $k$ numero relativo (numero naturale sia positivo che negativo). $f$ è dispari, ovvero il suo grafico è simmetrico rispetto all’origine, infatti:

$$\tan(-\alpha) = -\tan(\alpha) \quad \quad \quad \forall \alpha\in D(f)$$

$f$ presenta una discontinuità di seconda specie in $\pi/2$ e, nello stesso punto, non è derivabile.

$f$ è illimitata, la sua immagine è $Imm(f) = \R$.

Il segno di $f$, con $k\in \Z$ è:

• positivo per $k\pi < \alpha < \frac{\pi}{2}+k\pi$
• negativo per $\frac{\pi}{2}k\pi < \alpha < (k+1)\pi$

$f$ è periodica con periodo $\pi$, è quindi possibile studiare le sue proprietà nell’intervallo $I = (-\pi/2; \; \pi/2)$ poiché queste si ripetono in tutto il suo dominio.

$f$ è monotona strettamente crescente.

$f$ è concava in $[0, \; \pi/2)$ e convessa in $[\pi/2, \; \pi]$.

I suoi limiti agli estremi del dominio sono:

$$\Large { \eq{ & \lim_{\alpha \to (\frac{\pi}{2})^-} \tan (\alpha) = + \infty \\ & \lim_{\alpha \to (\frac{\pi}{2})^+} \tan (\alpha) = - \infty \\ } }$$

Il suo limite notevole associato è:

$$\lim_{\alpha \to 0} \frac{\tan (\alpha)}{\alpha} = 1$$

La derivata della tangente è:

$$D \left[ \tan (\alpha)\right] = \frac{1}{\cos^2(\alpha)}$$

L’integrale della tangente è:

$$\int \tan (\alpha) \; d\alpha = -\ln(\cos(\alpha))+ c$$

Lo sviluppo di Taylor con centro in $x_0 = 0$ è:

$$\tan (\alpha) = \alpha + \frac{\alpha^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + o(\alpha^6) \quad \quad \quad \text{per } |\alpha| < \frac{\pi}{2}$$

Cotangente

La cotangente si esprime con $\cot (\alpha)$.

Si consideri la retta $c$ tangente alla circonferenza trigonometrica nel punto $B=(0, 1)$ e sia $C$ il punto di intersezione tra la retta $c$ ed il secondo lato (o il suo prolungamento) di un angolo $\alpha$ qualsiasi , allora:

$$\Large \cot (\alpha) = \overline{C B} = x_{\, C}$$

Si può dare una seconda definizione mediante le definizioni di seno e coseno:

$$\Large \cot (\alpha) = \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} \quad \quad \quad \forall \alpha \neq \frac{\pi}{2} + k\pi, k\in \Z$$

Si considerino i due triangoli $\overset{\triangle}{O P Q}$ e $\overset{\triangle}{O C B}$ Poiché sono entrambi triangoli rettangoli e l’angolo $\alpha$ è in comune, vale la seguente relazione:

$$\frac{\overline{C B}}{\overline{O B}} = \frac{\overline{P Q}}{\overline{O Q}} \implies \frac{\cot (\alpha)}{1} = \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}$$

Proprietà della cotangente

Sia $f(x)= \cot (\alpha)$, si studino le sue proprietà.

$D(f) = \R\setminus \{k\pi\}$ con $k\in \Z$, il suo dominio include tutti i numeri reali compresi tra $-\infty$ e $+\infty$ esclusi tutti i punti nella forma $k\pi$ con $k$ numero relativo (numero naturale sia positivo che negativo).

$f$ è dispari, ovvero il suo grafico è simmetrico rispetto all’origine, infatti:

$$\cot(-\alpha) = -\cot(\alpha) \quad \quad \quad \forall \alpha\in D(f)$$

$f$ presenta una discontinuità di seconda specie in $x_0 = 0$ e $x_1 = \pi$, ove non è derivabile.

$f$ è illimitata, la sua immagine è $Imm(f) = \R$.

Il segno di $f$, con $k\in \Z$ è:

• positivo per $k\pi < \alpha < \frac{\pi}{2}+k\pi$
• negativo per $\frac{\pi}{2}k\pi < \alpha < (k+1)\pi$

$f$ è periodica con periodo $\pi$, è quindi possibile studiare le sue proprietà nell’intervallo $I = (0; \; \pi)$ poiché queste si ripetono in tutto il suo dominio.

$f$ è monotona strettamente decrescente.

$f$ è concava in $[0, \; \pi/2)$ e convessa in $[\pi/2, \; \pi]$

I suoi limiti agli estremi del dominio sono:

$$\Large { \eq{ & \lim_{\alpha \to \pi^-} \cot(\alpha) = - \infty \\ & \lim_{\alpha \to 0^+} \cot(\alpha) = + \infty \\ } }$$

La derivata della cotangente è:

$$D \left[ \cot (\alpha)\right] = \frac{1}{\sin^2(\alpha)}$$

L’integrale della cotangente è:

$$\int \cot(\alpha) \; d\alpha = \ln|\sin(\alpha)|+ c$$

Funzioni Trigonometriche Inverse

Arcoseno

La funzione arcoseno si indica con: $\text{arcsin}(\alpha), \; \text{arcsen} (\alpha), \; \text{asin} (\alpha)$.

$\sin (\alpha)$ è invertibile in $\large [ -\frac{\pi}{2}; \; \frac{\pi}{2}]$

$$\eq{ \arcsin (\alpha) : & \quad [-1; \; 1] \longrightarrow \bigg[ -\frac{\pi}{2}; \; \frac{\pi}{2} \bigg] \\ \\ \sin (\alpha): & \quad \bigg[ -\frac{\pi}{2}; \; \frac{\pi}{2} \bigg] \longrightarrow [-1; \; 1] }$$

Ovvero:

$$\eq{ & \beta = \arcsin (\alpha) \iff \sin (\beta) = \alpha \\ \\ & \text{con } \alpha\in [-1; \; 1], \; \beta \in \bigg[ -\frac{\pi}{2}; \; \frac{\pi}{2} \bigg] }$$

Si noti come la funzione $\sin (\alpha)$ sia invertibile anche in intervalli diversi da $\left[ -\frac{\pi}{2}; \; \frac{\pi}{2} \right]$.

Nel caso in cui si debba studiare $f^{-1}(\alpha)$ di $\sin (\alpha)$ in un intervallo diverso da $\left[ -\frac{\pi}{2}; \; \frac{\pi}{2} \right]$ , la funzione non si chiama $\text{arcsin} (\alpha)$.

Esempio $$\eq{ & \arcsin \bigg( \sin \Big(\frac{\pi}{4}\Big)\bigg) = \frac{\pi}{4} \quad \quad \quad \text{N.B.} \; \frac{\pi}{4}\in \bigg[ -\frac{\pi}{2}; \; \frac{\pi}{2} \bigg] \\ \\ & \arcsin \bigg( \sin \frac{3}{4}\pi \bigg) \neq \frac{3}{4}\pi \quad \quad \quad \text{N.B.} \; \frac{3}{4}\pi \notin \bigg[ -\frac{\pi}{2}; \; \frac{\pi}{2} \bigg], \; \frac{3}{4}\pi\in [-1; \; 1] \\ & \arcsin \bigg( \sin \frac{3}{4}\pi \bigg) = \arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi}{4} \quad \quad \quad \text{N.B.} \; \frac{\pi}{4}\in \bigg[ -\frac{\pi}{2}; \; \frac{\pi}{2} \bigg] }$$

Identità dell’arcoseno

Le identità dell’arcoseno sono utili per la risoluzione dei grafici di funzione.

$$\eq{ & \arcsin(\sin(\alpha)) = \alpha \quad \quad \quad \text{per } -\frac{\pi}{2} \leqslant \alpha \leqslant \frac{\pi}{2} \\ \\ & \sin(\arcsin(\alpha)) = \alpha \quad \quad \quad \text{per } -1 \leqslant \alpha \leqslant 1 \\ \\ & \cos(\arcsin(\alpha)) = \sqrt{1-\alpha^2} \quad \quad \quad \text{per } -1 \leqslant \alpha \leqslant 1 \\ \\ & \tan(\arcsin(\alpha)) = \frac{\alpha}{\sqrt{1-\alpha^2}} \quad \quad \quad \text{per } -1 \leqslant \alpha \leqslant 1 \\ \\ & \cot(\arcsin(\alpha)) = \frac{\sqrt{1-\alpha^2}}{\alpha} \quad \quad \quad \text{per } -1 \leqslant \alpha < 0 \lor 0 < \alpha \leqslant 1 \\ }$$

Proprietà dell’arcoseno

Sia $f(x)= \arcsin (\alpha)$, si studino le sue proprietà.

$D(f) = [-1; \; 1]$, il suo dominio include tutti i numeri compresi tra $\pm 1$. $f$ è dispari, ovvero il suo grafico è simmetrico rispetto all’origine, infatti:

$$\arcsin(-\alpha) = -\arcsin(\alpha) \quad \quad \quad \forall \alpha\in D(f)$$

$f$ è continua in $[-1; \; 1]$ e derivabile in $(-1; \; 1)$

$f$ è limitata, infatti $Imm(f) = [-\frac{\pi}{2}; \; \frac{\pi}{2}]$

$f$ è strettamente monotona crescente in tutto il suo dominio

$f$ è concava in $[-1; \; 0)$ e convessa in $(0 ; \; 1]$

I suoi limiti agli estremi del dominio sono:

$$\eq{ & \lim_{\alpha \to -1^+} \arcsin(\alpha) = \arcsin(-1) = -\frac{\pi}{2} \\ \\ & \lim_{\alpha \to +1^-} \arcsin(\alpha) = \arcsin(1) = \frac{\pi}{2} }$$

Il suo limite notevole associato è:

$$\lim_{\alpha \to 0} \frac{\arcsin(\alpha)}{\alpha} = 1$$

La sua derivata è:

$$D \left[ \arcsin(\alpha) \right] = \frac{1}{\sqrt{1-\alpha^2}}$$

Il suo integrale è:

$$\int \arcsin(\alpha) \; d\alpha = \sqrt{1-\alpha^2} + \alpha \arcsin(\alpha) + c$$

Il suo sviluppo di Taylor con centro in $x_0 = 0$ e:

$$\arcsin(\alpha) = \alpha + \frac{\alpha^3}{6} + \frac{3}{40}\alpha^5 + \frac{5}{112}\alpha^7 + \frac{35}{1152}\alpha^9 + o(\alpha^9) \quad \quad \quad \text{per } |\alpha| < 1$$

Arcocoseno

La funzione arcocoseno si indica con: $\text{arccos}(\alpha), \; \text{acos} (\alpha)$

$f(x)= \cos(\alpha)$ è invertibile in $\forall \alpha \in[0; \; \pi], \; \alpha \in \R$.

La sua funzione inversa si chiama $\text{arccos}(\alpha)$

$$\arccos (\alpha) : \quad [-1; \; 1] \longrightarrow [0; \; \pi]$$

Identità dell’arcocoseno

Le identità dell’arcocoseno sono utili per la risoluzione dei grafici di funzione.

$$\eq{ & \arccos( \cos (\alpha)) = \alpha \quad \quad \quad \text{per } 0 \leqslant \alpha \leqslant \pi \\ \\ & \cos( \arccos (\alpha)) = \alpha \quad \quad \quad \text{per } -1 \leqslant \alpha \leqslant 1 \\ \\ & \sin( \arccos (\alpha)) = \sqrt{1 - \alpha^2} \quad \quad \quad \text{per } -1 \leqslant \alpha \leqslant 1 \\ \\ & \tan( \arccos (\alpha)) = \frac{\sqrt{1-\alpha^2}}{\alpha} \quad \quad \quad \text{per }-1\leqslant \alpha < 0 \; \lor \; 0 < \alpha \leqslant 1 \\ \\ & \cot( \arccos (\alpha)) = \frac{\alpha}{\sqrt{1 - \alpha^2}} \quad \quad \quad \text{per } -1 < \alpha < 1 \\ \\ & \sec( \arccos (\alpha)) = \frac{1}{\alpha} \quad \quad \quad \text{per }-1\leqslant \alpha < 0 \; \lor \; 0 < \alpha \leqslant 1 \\ \\ & \text{scs}( \arccos (\alpha)) = \frac{1}{\sqrt{1-\alpha^2}} \quad \quad \quad \text{per } -1 < \alpha < 1 \\ \\ & \arcsin(\alpha) + \arccos(\alpha) = \frac{\pi}{2} \quad \quad \quad \forall \alpha }$$

Proprietà dell’arcoseno

Sia $f(x)= \arccos (\alpha)$​, si studino le sue proprietà.

$D(f) = [-1; \; 1]$​, il suo dominio include tutti i numeri compresi tra $\pm 1$​. $f$​ è una funzione né pari né dispari.

$f$ è continua in $[-1; \; 1]$ e derivabile in $(-1; \; 1)$

$f$​ è limitata, infatti $Imm(f) = \left[ 0; \; \pi \right]$​

$f$​ è strettamente monotona decrescente in tutto il suo dominio

$f$​​ è concava in $[0; \; 1)$​​ e convessa in $[-1 ; \; 0)$​​

I suoi limiti agli estremi del dominio sono:

$$\eq{ & \lim_{\alpha \to (-1)^+} \arccos (\alpha) = \arccos (-1) = \pi \\ \\ & \lim_{\alpha \to (+1)^-} \arccos (\alpha) = \arccos (1) = 0 }$$

Il suo limite notevole associato è:

$$\lim_{\alpha \to 0} \frac{\alpha}{\arccos (\alpha)} = 0$$

La sua derivata è:

$$D \left[ \arccos (\alpha) \right] = -\frac{1}{\sqrt{1-\alpha^2}}$$

Il suo integrale è:

$$\int \arccos (\alpha) \; d\alpha = \alpha \arccos (\alpha) -\sqrt{1-\alpha^2}+ c$$

Il suo sviluppo di Taylor con centro in $\alpha_0 = 0$ e:

$$\arccos (\alpha) = \frac{\pi}{2} - \alpha - \frac{\alpha^3}{6} - \frac{3}{40}\alpha^5 - \frac{5}{112}\alpha^7 - \frac{35}{1152}\alpha^9 + o(\alpha^9) \quad \quad \quad \text{per } |\alpha| < 1$$

Arcotangente

La funzione arcotangente si indica con: $\text{arctan}(\alpha), \; \text{arctg} (\alpha), \; \text{atan} (\alpha)$

$f(x)= \arctan(\alpha)$ è invertibile in $\left( -\frac{\pi}{2},\; \frac{\pi}{2} \right), \; \forall \alpha \in \R$.

La sua funzione inversa è $\tan(\alpha)$, infatti:

$$\alpha = \arctan(x) \iff x = \tan(\alpha) \quad \forall \alpha\in \left( -\frac{\pi}{2},\; \frac{\pi}{2} \right)$$

Identità dell’arcotangente

Le identità dell’arcotangente sono utili per la risoluzione dei grafici di funzione.

$$\eq{ & \arctan(\tan(\alpha)) = \alpha \quad \quad \quad \text{per } -\frac{\pi}{2} < \alpha < \frac{\pi}{2} \\ \\ & \tan(\arctan(\alpha)) = \alpha \quad \quad \quad \forall \alpha \\ \\ & \sin(\arctan(\alpha)) = \frac{\alpha}{\sqrt{1+\alpha^2}} \quad \quad \quad \forall \alpha \\ \\ & \cos(\arctan(\alpha)) = \frac{1}{\sqrt{1+\alpha^2}} \quad \quad \quad \forall \alpha \\ \\ & \cot(\arctan(\alpha)) = \frac{1}{\alpha} \quad \quad \quad \forall \alpha \neq 0 \\ \\ & \sec(\arctan(\alpha)) = \sqrt{\alpha^2+1} \quad \quad \quad \forall \alpha \\ \\ & \text{scs}(\arctan(\alpha)) = \frac{\sqrt{\alpha^2+1}}{\alpha} \quad \quad \quad \forall \alpha \neq 0 \\ \\ & \arctan(\alpha) + \text{arccot}(\alpha) = \frac{\pi}{2} \quad \quad \quad \forall \alpha \\ \\ & \arctan(\alpha) + \arctan\left(\frac{1}{\alpha}\right) = \sis{ -\frac{\pi}{2} & \text{se } \alpha < 0 \\ +\frac{\pi}{2} & \text{se } \alpha > 0 \\ } \\ \\ }$$

Proprietà dell’arcotangente

Sia $f(x)= \arctan(\alpha)$​, si studino le sue proprietà.

$D(f) = \R$, il suo dominio include tutti i numeri reali compresi tra $-\infty$ e $+\infty$.

$f$ è una funzione dispari.

$f$ è continua e derivabile su tutto l’insieme $\R$.

$f$ è limitata: ha immagine $Imm(f) = \left(-\frac{\pi}{2},\;\frac{\pi}{2} \right)$.

$f$​ è strettamente monotona crescente in tutto il suo dominio.

$f$ è concava in $[0; \; +\infty)$ e convessa in $(-\infty; \; 0)$.

I suoi limiti agli estremi del dominio sono:

$$\eq{ & \lim_{\alpha \to -\infty} \arctan(\alpha) = -\frac{\pi}{2} \\ \\ & \lim_{\alpha \to +\infty} \arctan(\alpha) = +\frac{\pi}{2} }$$

Il suo limite notevole associato è:

$$\lim_{\alpha \to 0} \frac{\arctan(\alpha)}{\alpha} = 1$$

La sua derivata è:

$$D \left[ \arctan(\alpha) \right] = \frac{1}{1+\alpha^2}$$

Il suo integrale è:

$$\int \arctan(\alpha) \; d\alpha = \alpha \arctan(\alpha) -\frac{1}{2}\ln(1+\alpha^2)+ c$$

Il suo sviluppo di Taylor con centro in $\alpha_0 = 0$ è:

$$\arctan(\alpha) = - \,\alpha - \frac{\alpha^3}{3} + \frac{\alpha^5}{5} - \frac{\alpha^7}{7} + \frac{\alpha^9}{9} + o(\alpha^9)$$

Funzioni Trigonometriche Iperboliche

seno iperbolico

Il seno iperbolico si espire con $\sinh(\alpha)$

$$\Large \sinh(\alpha) = \frac{e^\alpha-e^{-\alpha}}{2}$$

Identità del seno iperbolico

Definito anche il coseno iperbolico, illustrato nei paragrafi successivi, vale la seguente identità:

$$\Large \cosh^2(\alpha) - \sinh^2(\alpha) = 1$$

Dato il legame che unisce questa equazione con quella per l’iperbole $x^2-y^2 = 1$, si utilizza l’aggettivo iperbolico.

Proprietà del seno iperbolico

Sia $f(x)= \sinh (\alpha)$, si studino le sue proprietà.

$D(f) = \R$, il suo dominio include tutti i numeri reali compresi tra $-\infty$ e $+\infty$. $f$ è dispari, ovvero il suo grafico è simmetrico rispetto all’origine, infatti:

$$\sinh(-\alpha) = -\sinh(\alpha) \quad \quad \quad \forall \alpha\in D(f)$$

$f$ è continua e derivabile in tutto il suo dominio $\R$.

$f$ è illimitata, infatti $Imm(f) = (-\infty; \; +\infty)$.

$f$ è monotona strettamente crescente in tutto il suo dominio.

$f$ è concava in $[ -\infty; \; 0)$ e convessa in $(0 ; \; +\infty]$.

I suoi limiti agli estremi del dominio sono:

$$\eq{ & \lim_{\alpha \to -\infty} \sinh(\alpha) = -\infty \\ \\ & \lim_{\alpha \to +\infty} \sinh(\alpha) = +\infty }$$

Il suo limite notevole associato è:

$$\lim_{\alpha \to 0} \frac{\sinh(\alpha)}{\alpha} = 1$$

La sua derivata è:

$$D \left[ \sinh(\alpha) \right] = \cosh(\alpha)$$

Il suo integrale è:

$$\int \sinh(\alpha) \; d\alpha = \cosh(\alpha) + c$$

Il suo sviluppo di Taylor con centro in $x_0 = 0$ è:

$$\sinh(\alpha) = \alpha + \frac{\alpha^3}{3!} + \frac{\alpha^5}{5!} + \frac{\alpha^7}{7!} + \frac{\alpha^9}{9!} + o(\alpha^9)$$

coseno iperbolico

Il seno iperbolico si esprime con $\cosh(\alpha)$

$$\cosh(\alpha) = \frac{e^\alpha + e^{-\alpha}}{2}$$

Identità del coseno iperbolico

Come già visto con il seno iperbolico, vale la seguente identità:

$$\cosh^2(\alpha) - \sinh^2(\alpha) = 1$$

Proprietà del coseno iperbolico

Sia $f(x)= \cosh (\alpha)$, si studino le sue proprietà.

$D(f) = \R$, il suo dominio include tutti i numeri reali compresi tra $-\infty$ e $+\infty$.

$f$ è pari, ovvero il suo grafico è simmetrico rispetto all’asse $x$, infatti:

$$\cosh(-\alpha) = \cosh(\alpha) \quad \quad \quad \forall \alpha\in D(f)$$

$f$ è continua e derivabile in tutto il suo dominio $\R$.

$f$ è illimitata, infatti $Imm(f) = [ -\infty; \; +\infty ]$.

$f$ è monotona strettamente decrescente in $[ -\infty; \; 0)$ e monotona strettamente crescente in $(0 ; \; +\infty]$.

$f$ è convessa in tutto il suo dominio.

I suoi limiti agli estremi del dominio sono:

$$\eq{ & \lim_{\alpha \to \pm\infty} \cosh (\alpha) = + \infty }$$

Il suo limite notevole associato è:

$$\lim_{\alpha \to 0} \frac{\cosh(\alpha) - 1}{\alpha^2} = \frac{1}{2}$$

La sua derivata è:

$$D \left[ \cosh(\alpha) \right] = \sinh(\alpha)$$

Il suo integrale è:

$$\int \cosh(\alpha) \; d\alpha = \sinh (\alpha) + c$$

Il suo sviluppo di Taylor con centro in $x_0 = 0$ e:

$$\cosh (\alpha) = \sum_{k = 0}^\infty \frac{\alpha^{2k}}{(2k)!} = \dots + o(\alpha^9)$$

Reference

1. Circonferenza goniometrica
2. Conversione gradi in radianti e viceversa
3. Seno e Coseno
4. Tangente e Cotangente
5. Arcoseno
6. Arcocoseno
7. Sviluppi di Taylor