Laplace

Trasformate di Laplace applicata alle funzioni di trasferimento di sistemi LTI.

Introduzione

Le leggi fisiche modellano sistemi ingegneristici tramite la determinazione di modelli matematici. Questi modelli possono essere espressi da equazioni differenziali.

I modelli che descrivono dei sistemi LTI (lineari tempo-invarianti) possono quindi essere espressi con equazioni differenziali di ordine n, del tipo:

$$\begin{aligned} \sum_{j=0}^n a_j \frac{d^j y}{dt^j} = \sum_{j=0}^m b_j \frac{d^j u}{dt^j} \\ \implies a_0 y(t) + \dots + a_n \frac{d^n y}{dt^n} = b_0 u(t) + \dots + b_m \frac{d^m u}{dt^m} \end{aligned}$$

L’indice n è il massimo ordine della derivata della funzione di uscita $y(t)$. L’indice m è il massimo ordine della derivata dell’ingresso $u(t)$.

La condizione $n \geq m$ implica causalità (fisica realizzabilità). Di seguito si suppone che tale condizione sarà sempre verificata.

Un modello matematico fisicamente realizzabile descrive un sistema causale (ovvero non anticipativo).

Le trasformazioni funzionali associano funzioni nel dominio del tempo a funzioni in un altro dominio, nel quale operazioni complicate (come derivazione o integrazione) corrispondono a operazioni più semplici (come prodotto o somma). Le trasformazioni funzionali stabiliscono una relazione biunivoca tra funzioni nei due domini.

La trasformazione funzionale più utile per l’analisi di equazioni differenziali che rappresentano sistemi LTI è quella di Laplace. Data una funzione nel tempo $f(t)$, la sua trasformata di Laplace è definita come:

$$F(s) = \mathcal{L} [f(t)] = \int_0^{\infty} f(t)e^{-st} dt \in \C$$

L’antitrasformata di Laplace è:

$$f(t) = \mathcal{L} [F(s)]^{-1} = \frac{1}{2\pi j} \int_{\sigma_0 -j\infty}^{\sigma_0 +j\infty} F(s)e^{st} ds \in \R$$

La rappresentazione cartesiana di s si effettua sul piano di Gauss (il piano complesso).

$$s = \sigma + j\omega = \text{Re}\{s\}+ j\text{Im}\{s\}$$

Dalla formula precedente si possono esprimere i seguenti parametri:

• $\omega$: parte immaginaria di s (ordinata del piano di Gauss),
• $\sigma$: parte reale di s (ascissa del piano di Gauss).

Dato il modulo $\rho$ e l’argomento $\varphi$, la rappresentazione polare di s è:

$$s = \rho e^{j\varphi}=\rho\big(\cos(\varphi)+j\sin(\varphi)\big)$$

Data la formula di Eulero:

$$e^{j\varphi}=\cos(\varphi)+j\sin(\varphi)$$

Si ricavano le seguenti formule:

$$\begin{aligned} \sigma &= \rho \cos(\varphi)\\ \omega &= \rho \sin(\varphi)\\ \rho &= \sqrt{\sigma^2 + \omega^2}\\ \varphi &= \arctan\bigg(\frac{\omega}{\sigma}\bigg)\frac{\pi}{2}\Big(1-\text{sgn}(\sigma) \Big)\text{sgn}(\omega) \end{aligned}$$

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Il problema di partenza (ovvero la risoluzione delle equazioni differenziali) viene detto problema oggetto. Il problema nel dominio trasformato è detto problema immagine.

$$\begin{CD} \boxed{\begin{split}\text{problema}\\ \text{oggetto}\;\;\end{split}} @> \text{difficile}>\text{risoluzione}> \boxed{\begin{split}\text{soluzione}\\ \text{oggetto}\;\;\end{split}} \\ @V\mathcal{L}VV @AA\mathcal{L}-1A \\ \boxed{\begin{split}\text{problema}\\ \text{immagine}\end{split}} @> \text{operazioni}>\text{più semplici}> \boxed{\begin{split}\text{soluzione}\\ \text{immagine}\end{split}} \end{CD}$$

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In MATLAB, le operazioni di Laplace sono supportate da:

1. Symbolic Toolbox: laplace, ilaplace
2. Control System Toolbox: Transfer Function tf

Proprietà

Linearità:

$$\mathcal{L}[\alpha f_1(t)+\beta f_2(t)] = \alpha F_1(s)+\beta F_2(s)$$ $$F(s^*) = F^* (s)$$

Con $s^*$ complesso coniugato di s.

La messa in scala:

$$f(\alpha t) \iff \frac{1}{a} F\bigg(\frac{s}{a} \bigg)$$

Traslazione nel tempo:

$$\mathcal{L}[f(t-t_0)] = e^{-t_0 s} F(s)$$

Trasformata dell’integrale:

$$\mathcal{L} \bigg[\int_0^t f(\tau)d\tau \bigg] = \frac{1}{s} F(s)$$

Trasformata della derivata:

$$\mathcal{L} \bigg[\frac{d f(t)}{dt} \bigg] = s F(s)-f(0^+)$$

Trasformata della derivata seconda:

$$\mathcal{L} \bigg[\frac{d^2 f(t)}{dt^2} \bigg] = s^2 F(s)-sf(0)-\frac{df(0)}{dt}$$

Teorema della traslazione in s:

$$\mathcal{L} \bigg[e^{at} f(t)\bigg] = F(s-a)$$

Teorema della trasformata dell’integrale di convoluzione:

$$\mathcal{L} \bigg[\int_0^{\infty} f_1 (\tau) f_2 (t-\tau)d\tau\bigg] = F_1(s) F_2(s)$$

Le proprietà che seguono valgono se il limite di $f(t)$ esiste e per $F(s)$ razionali. I numeri razionali (insieme $\mathbb{Q}$) sono tutti e soli i numeri che possono essere espressi sotto forma di frazione con numeratore e denominatore entrambi appartenenti ai numeri naturali:

$$F(s) \in \Q \; : \; F(s) = \frac{N(s)}{D(s)}\quad N(s),\; D(s) \in \N$$

Teorema del valore iniziale:

$$\lim_{t \to 0^+} f(t) = \lim_{s \to \infty} sF(s)$$

Teorema del valore finale:

$$\lim_{t \to \infty} f(t) = \lim_{s \to 0} sF(s)$$

Trasformata di una funzione periodica:

Dato il periodo T, sia $f(t)$ una funzione non nulla in $0\leq t \leq T$. Sia $f_p(t)$ la funzione ottenuta attuando una ripetizione periodica di $f(t)$, la sua trasformata è:

$$\mathcal{L} \bigg[f_p(t)\bigg] = \frac{F(s)}{1-e^{Ts}}$$

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Segnali Fondamentali

Gradino Unitario

$$u(t) = \begin{cases} 0 & \quad t<0 \\ 1 & \quad t \geq 0 \\ \end{cases}$$

La trasformata del segnale gradino unitario è:

$$\begin{aligned} \mathcal{L}[u(t)] &= \frac{1}{s}\\ \\ \mathcal{L}[u(t)] &= \int_0^{\infty} e^{-st}dt =\\ &= \lim_{c \to +\infty}\int_0^c e^{-st}dt =\\ &= \lim_{c \to +\infty} \bigg[\frac{e^{-st}}{-s}\bigg]_0^c \\ &= \lim_{c \to +\infty} \bigg[\frac{e^{-sc}}{-s}+\frac{e^0}{s}\bigg] =\frac{1}{s} \end{aligned}$$

N.B. $\lim_{c \to +\infty} e^{-c} = 0$

Esponenziale monolatero

Trasformata di segnale esponenziale monolatero:

$$f(t) = \begin{cases} e^{at} \quad & t \geq 0\\ 0 \quad & t < 0 \end{cases}$$

Allora la trasformata è:

$$\begin{aligned} \mathcal{L}[f(t)] &= \frac{1}{s-a}\\ \\ \mathcal{L}[f(t)] &=\int_0^{\infty} e^{at} e^{-st}dt =\\ &= \lim_{c \to +\infty}\int_0^c e^{at-st}dt =\\ &= \lim_{c \to +\infty}\bigg[\frac{e^{-t(s-a)}}{-(s-a)}\bigg]_0^c =\\ &= \lim_{c \to +\infty}\bigg[\frac{e^{-c(s-a)}}{-(s-a)}-\frac{e^0}{-(s-a)}\bigg] =\\ &= \frac{1}{s-a} \end{aligned}$$

Dato $n \in \N$ ed $a\in\C$ costante:

$$\mathcal{L}[t^n e^{at}] = \frac{n!}{(s-a)^{n+1}}$$

Se $f(t)=0$ per $t < 0$, allora:

• gradino unitario: $f(t)=t^0$
• rampa unitaria: $f(t)=t^1$
• esponenziale monolatero: $f(t)=t^0 e^{at}$

Un numero reale è un numero complesso con parte immaginaria nulla:

$$\alpha \in \C \land \text{Im}\{\alpha\}=0 \implies \alpha \in \R \sube \C$$

Grazie alla formule di Eulero si può scrivere:

$$\sin(\omega t) = \bigg[e^{j\omega t}-e^{-j\omega t} \bigg]\frac{1}{2j}$$ $$\cos(\omega t) = \bigg[e^{j\omega t}+e^{-j\omega t} \bigg]\frac{1}{2}$$

Delta di Dirac

Trasformata dell’impulso Delta di Dirac:

$$\mathcal{L}[\delta(t)] = 1$$

Trasformata parabola unitaria:

$$f(t) = t^2/2 \implies \mathcal{L}[f(t)] =\frac{1}{s^3}$$

Rampa unitaria

La rampa unitaria è la bisettrice del 1° quadrante. Inoltre, è la derivata della parabola unitaria.

$$\begin{aligned} f(t) &= \begin{cases} t \quad & t \geq 0\\ 0 \quad & t < 0 \end{cases} \\ \mathcal{L}[f(t)] &= \int_{0}^{\infty} t e^{-st}dt =\frac{1}{s^2} \end{aligned}$$

Parabola unitaria

$$f(t) = \frac{t^2}{2} \quad ; \quad \mathcal{L}[f(t)] = \frac{1}{s^3}$$

Segnali sinusoidali

Trasformata di sinusoide e cosinusoide:

$$\mathcal{L} \Big[\sin(\omega t)\Big] = \frac{\omega}{s^2+\omega^2}$$ $$\mathcal{L} \Big[\cos(\omega t)\Big] = \frac{s}{s^2+\omega^2}$$